Фото: Анна Мейер / ФК «Зенит» / https://fc-zenit.ru/news/2024-03-26-v-peterburge-startoval-debyutnyy-kubok-aleksandra-vasyutina-.htm
Васютин — воспитанник «Газпром»-Академии, он дебютировал за «Зенит» в составе молодёжного состава в мае 2013 года. В 2016 году голкипер отправился в финский «Лахти», где провёл полтора года на правах аренды. В составе этого клуба он был признан лучшим вратарём чемпионата Финляндии. В 2018 году Васютин перешёл в норвежский «Сарпсборг», отыграв в его составе 37 матчей.
В июле 2019 года футболист вернулся в «Зенит». За основной состав он провёл три матча, став чемпионом страны, обладателем Кубка и Суперкубка России.
В 2021 и 2022 годах Васютин выступал на правах аренды за шведский «Юргорден», сыграв в 19 матчах.
В ноябре 2022 года Васютин снова вернулся в «Зенит» и к настоящему моменту добавил к своим регалиям ещё два титула чемпиона России, а также звание победителя Кубка и Суперкубка страны.